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工程與科學數值方法的實現(第4版)
[美] C. 著
林賜 譯
長久以來，人們都習慣用解析法研究問題。只有解析法無效的時候，才考慮用數值分析方法來解決問題。所以它一直被當做備選項，不被重視。
數值分析方法是一門實踐性很強的學科，但是其計算繁瑣、冗長，靠人工計算計算量大讓人望而生畏。隨著計算機的發展，尤其出現了一批優秀的數值分析軟件比如軟件，完美的解決了數值分析的缺點，使數值分析方法被廣泛使用。成為與理論分析、科學實驗并列的第三種科學研究手段。
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第1部分建模、計算機與誤差分析
數值方法( )使用公式表示數學問題以便可以用算數和邏輯運算解決這些問題的技術。數字計算機擅長于執行算術和邏輯這類運算。所以數值方法又稱為計算機數學( )。
數值方法學習的理由：
(1)數值方法能夠極大地覆蓋所能解決的問題類型，增強問題求解技巧；
(2)數值方法可以讓用戶更加智慧地使用“封裝過的”軟件；
(3)很多問題不能用封裝的程序解決，可以自我編程解決問題；
(4)數值方法是學習使用計算機的有效載體；
(5)數值方法提供了一個能夠增強對數學理解的平臺。
第1章 數學建模、數值方法與問題求解
本章目標：
(1)學習如何基于科學原理建立數學模型，進而對簡單物理系統的行為進行仿真；
(2)理解數值方法如何提供一種方式以便在數字計算機上求得問題的解；
(3)對于工程學科中使用的各種模型，理解背后的守恒律，正確評價這些模型穩態解和動態解之間的差異；
(4)學習本書中設計的不同類型的數值方法。
提出問題：預測蹦極運動員自由落體階段的速度。
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解：根據牛頓第二定律就可以建立速度的關系式：
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根據空氣流體力學有：
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整理后有最終的表達式為：
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其中，v：垂直向下速度(m/s)
t：時間(s)
g：重力加速度(≈9.81m/s2)
Cd：集總阻力系數(kg/m)
(集總是指它的大小還取決于其它一些因素，比如運動員的表面積和流體密度)
m：為蹦極運動員的體重(kg)
1.1 一個簡單的數學模型
數學模型( model)可以廣義地定義為表達物理系統或物理過程本質特性的公式或方程。
廣義數學模型可表示為如下函數關系式：應變量=f(自變量，參數，強制函數)
其中，應變量( )是物理系統的特征，反映了系統的行為或狀態；
自變量( )通常為維度，如時間和空間，通過維度確定系統的行為；
參數()是系統特性或構成的反映；
強制函數( )是作用在系統上的外部影響。
(1.1)式的特解為：(具體求解過程見習題1.1)
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其中tanh為雙曲正切函數。
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例1.1蹦極問題的解析解：
設運動員m=68.1kg，空氣阻力Cd=0.25kg/m，g=98.1m/s2，計算t從0~12s內自由落體過程中運動員的速度。
解：將相關數據代入(1.2)式簡化后如下式：
V(t)=51.(0.)
把時間t=0~12s的值帶入上式，列成表1如下：
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繼續增加時長到速度不變，如表2：
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從表2可以看出，經過足夠長時間后，下降的速度達到恒定值，即重力與大氣阻力處于平衡，此時的速度即為極限速度。根據上表可以看出，極限速度為51.6938.繪制的圖形如下：
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式(1.2)又稱為解析解或閉型解。因為它與初始微分方程是精確對應的。然而大部分的數學模型還不能精確求解工程與科學數值方法的matlab實現新浪資料，只能盡力逼近精確解的數值解。
如果(1.1)式無法求得精確解，可以通過下面方法到逼近值：
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上式稱為時刻一階導數的有限差分逼近。代入式(1.1)可得：
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整理后有：
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將(1.1)式帶入上式，可以將上式簡化為：
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(1.4)式表示新值可以用初始值和斜率及步長有關，如果能確定這三個值就可以確定下一個值。即：新值=上一時刻的值+斜率*步長
這種方法稱為歐拉法。
例1.2 蹦極問題的數值解
利用例1.1的數據，用歐拉法計算速度。
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當步長越小的時候，精確解和近似解越逼近。
1.2 工程與科學中的守恒律
守恒律：變化量=增加量-減少量
如果變化量=0，增加量=減少量，即為穩態計算。守恒律也可以應用到化學工程、土木工程、機械工程、電子工程等計算中。
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1.4 案例研究
在以前的學習中，假定阻力為取決于速度平方 ，瑞麗爵士給出了更詳細的表達式，可以寫為：
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其中，
Fd=阻力(N),
[圖片上傳失敗...(image--87)] =流體密度(kg/m3),
A=垂直于運動方向平面上物體的正面面積(m3),
Cd=無量綱阻力系數，
v=速度方向的單位向量。
假定了湍流條件(即高雷洛數)的關系，集總阻力系數可以表示為：
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即集總阻力系數取決于物體的面積、流體密度和無量綱阻力系數。
注意：
對于速度比較低的情況，物體周圍的流動狀態呈現出層流，并且阻力與速度之間的關系變成了線性關系。即所謂的斯托克斯阻力。
由于速度平方后，符號和方向丟失。所以修改模型工程與科學數值方法的matlab實現新浪資料，使其同時適用于向下和向上的速度。
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待求的微分方程為：
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由此也可以求出位置x(m)：
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利用歐拉法可以將距離方程改成：
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總結：
修正前的速度：
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修正后的速度：
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帶入已知條件，v(0)=-40,x(0)=0，t=2s，分別求修正前和修正后的速度和位移數據：
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從這個圖形可以看出，速度修正值和原來值中間有差值。
