1 前言
求和符號Σ，關于這個符號用法的科普，似乎處于一個尷尬的境地：懂的人大都覺得太簡單，不屑于做，但確實又有很多人對它很頭疼，甚至壓根不知道這個符號。
另一方面來說，這個符號在一些推導過程中又的確很常用，如果對這個符號的用法沒有融會貫通，很難再看一些稍微深一點的科普內容。
而數學課本里一般也不會有專門的章節來講這個符號。
所以我來嘗試下寫一篇科普，把這個基礎符號的用法給講清楚。
首先，要對數學家有一個基本的信任：任何一個能被沿用至今的數學符號都是為了用最簡單且沒有歧義的方法來表達一個復雜的概念，而不是數學家故意搞一個復雜的東西來惡心人的產物。
很多時候你只覺得一個符號或表達式很復雜，卻不知它是擋在你和更復雜的概念之間的一個緩沖帶。如果沒有這些符號，我們在復雜的東西面前將更束手無策、只能坐以待斃。
2基本概念
Σ這個符號是來自希臘字母，國內有的人把它念成“西格瑪”，有的人把它念成“say格瑪”，都行。如果要用輸入法打出這個符號，可以嘗試直接輸入“sigma”。
Σ這個符號一般用在求和式中，求和式一般包括三個部分：
求和域：求和的范圍
求和項：求和的對象
求和符號：就是Σ這個符號，指明了這個式子是個求和式
以上三點請牢記。所有的求和表達式不管多花里胡哨，全都萬變不離其宗。
3基本表示方法
3.1 第一種表示方法
先看一個例子：表達“中國人的體重之和”。這里，“中國人”就是求和域，體重就是求和項。如果要用求和式來表達，那就可以表達成：
這個就是求和式最一般的寫法了。
如果把所有中國人記作集合Z有好看符號的輸入法，體重記作W，那么上式就能寫成更像數學的式子：
3.2第二種表示方法
很多時候，求和項會是一個函數，比如，這時候如果要表達在分別等于1,2,3時的之和，也就是。
這時的求和域就變成了集合。那么這個和就可以表達成：
但是，到了這里有時會有一些不嚴謹，的表達式里可能還有別的字母，例如。那么這個式子表達的究竟是，還是呢？無法確定。那么，在歧義面前，便利性必須做出讓步。所以，一般來說為了避免歧義，會把式子寫成這樣：
這樣就知道，是而不是在分別取求和域中的不同值。以上面的例子來說就是，而不是。這樣就消除了歧義。
如果這個還是理解有困難，再舉個通俗的例子：
看這個表達式，你無法區分它表達的是“每個英雄攻擊英雄B分別產生的傷害的和”還是“英雄A攻擊每個英雄分別產生的傷害的和”。這時候就要把它寫成下面這樣來避免歧義：
3.3第三種表示方法
當求和域是一串連續的整數組成的集合，例如與上文相同的“分別等于1,2,3時的之和”，有一種約定俗成的表達方法：
這里的1和3分別叫做求和下限和求和上限。它表達的意思就是說求和域是在1和3之間的所有整數。
這種表達有它的局限性：如果求和域里有非整數，或者求和域是所有偶數，都沒法用這種方法表達。
優點則是不需要集合的概念，以及對某些處理比較方便，比如：我們可以很輕松地把一個求和式拆成兩個：
這個式子的意思也就是求和范圍可以劃分成和來分別求和再相加。
4進階表示方法
這一節主要舉例來說一些看上去比較復雜的求和式，但是還是那句話，求和式就是三要素：求和域、求和項、求和符號。形式上再怎么玩出花來，本質上也是萬變不離其宗。
4.1帶額外說明的求和
舉個通俗的例子，如果要表達“所有除了浙江人以外的中國人的體重之和”，就可以在上文的基礎上加上一點額外說明：
當然，額外說明也可以有很多條，比如“身高170以下的除外”、“月收入小于1w的除外”，需要注意的是額外說明必須要明確，不能是“長得好看的人除外”這樣的模糊標準（好看的標準因人而異）。
有多條額外說明的時候式子乍一眼看起來好像很復雜，但其實耐下心來一條條看一般都能看懂。
4.2多元求和域
有時候求和范圍可能不是只關于一個變量的有好看符號的輸入法，比如“每個遠程英雄分別攻擊每個近戰英雄造成的傷害之和”，這時候攻擊英雄和被攻擊英雄都有一個范圍，這個求和域就是多元的了，可以表示成：
這個例子中，英雄A的選取和英雄B的選取之間毫無關系。但是，有很多時候多元求和域不一定是兩個獨立的求和域。
比如：求和域是（b的范圍跟a的取值相關），求和項是，就可以寫成：
這個求和式中，求和域的點在a-b平面內呈三角形狀分布，如下圖紅點所示。
4.3多重求和
多元求和域的求和式往往還可以表達成一個多重求和。例如上一個例子中，其求和式還可以等價地寫成：
這里要引入一條多重求和式的計算法則：多重求和式中，從右往左依次計算。例如上式中，先算紅色字體的部分，再把紅色部分作為一個整體，進行下面的計算。
這樣做的好處是，可以把多個元依次剝離出來，每次求和只對一個元求和。
還是上面這個例子，觀察紅色部分，可以發現當a的值選定后，這個部分的結果也就定了，比如：選定a=1后，紅色部分就等于；選定a=2后，紅色部分就等于。也就是說，紅色部分是一個只關于a的函數，我們把它記為。
這樣，就可以把上面的式子寫成：
來個通俗的例子，如何表示：每個英雄對攻擊力不如自己的所有英雄進行攻擊所造成的總傷害之和？
具體來說，比如一共4個英雄，他們的攻擊力如下：
英雄名字
攻擊力
小蔡
31
小露
35
小馬
38
小關
42
我們用代表英雄1對英雄2攻擊造成的傷害。那么這個求和所表示的應該就是：
小關造成的總傷害→
小馬造成的總傷害→
小露造成的總傷害→
（沒有英雄比小蔡的攻擊力低，所以小蔡的造成的總傷害就是0）
用求和式表示就是下面這樣：
英雄2攻擊} D\left(英雄1,英雄2\right)">
同樣，當英雄1選定了以后，紅色部分也就是這個英雄攻擊造成的總傷害只和英雄1選什么有關。
5一些處理技巧
1. 求和項相同，求和域不重合的兩個求和式相加，可以合并：
2. 求和項不同，求和域相同的兩個求和式相加，可以合并：
3. 外層求和域相同的兩個多重求和式相加，可以合并：
當然，上述三種處理技巧也只是比較基礎的。還需讀者多多思考才能融會貫通、舉一反三。