第1講合情推理與演繹推理1．合情推理 (1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理．簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．2．演繹推理 (1)演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情況；結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷．一條規(guī)律在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．兩個(gè)防范 (1)合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明．(2)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性．【例1】觀察下列等式：可以推測(cè)：13＋23＋33＋…＋n3＝(nN*，用含有n的代數(shù)式表示)．解析第二列等式的右端分別是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，1,3,6,10,15，…第n項(xiàng)an與第n－1項(xiàng)an－1(n≥2)的差為：an－an－1＝n，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，各式相加得， an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，an＝1＋2＋3＋…＋n，即an＝，a＝n2(n＋1)2。
所謂歸納，就是由特殊到一般，因此在歸納時(shí)就要分析所給條件之間的變化規(guī)律，從而得到一般結(jié)論．【訓(xùn)練1】 已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式．解析觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個(gè)根式的被開(kāi)方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m，nR＋，則當(dāng)m＋n＝20時(shí)，有＋＜2。答案若m，nR＋，則當(dāng)m＋n＝20時(shí)，有＋＜2考向二類比推理【例2】在平面幾何里，有“若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為SABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為”．[審題視點(diǎn)] 注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出結(jié)論．解析三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑．二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r。
(1)類比是從已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測(cè)正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；(3)類比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定可靠，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能．【訓(xùn)練2】 已知命題：“若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，nN*)，則am＋n＝”．現(xiàn)已知數(shù)列{bn}(bn＞0，nN*)為等比數(shù)列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，nN*)，若類比上述結(jié)論，則可得到bm＋n＝。答案a·考向三演繹推理【例3】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(nN＋)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an。 [審題視點(diǎn)] 在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成．大前提通常省略不寫(xiě)，或者寫(xiě)在結(jié)論后面的括號(hào)內(nèi)，小前提有時(shí)也可以省略，而采取某種簡(jiǎn)明的推理模式．證明(1)an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn。＝2·，(小前提)故是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an。
(結(jié)論) (第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件) 演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略．【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝(xR)(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性(2)判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性并證明．解(1)對(duì)x∈R有－xR，并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)法一f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：任取x1，x2R，并且x1＞x2， f(x1)－f(x2)＝－＝＝。x1＞x2，2x1＞2x2＞0，即2x1－2x2＞0，又2x1＋1＞0,2x2＋1＞0。＞0。f(x1)＞f(x2)．f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．法二f′(x)＝＞0f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．第2講直接證明與間接證明1．直接證明 (1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．框圖表示：→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)．(2)分析法定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法．框圖表示：→→→…→。
2．間接證明一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明： q?r?…?t。 t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾．從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法．一個(gè)關(guān)系綜合法與分析法的關(guān)系分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用．兩個(gè)防范 (1)利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的．(2)用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立．【例1】設(shè)a，b，c＞0，證明：＋＋≥a＋b＋c。[審題視點(diǎn)] 用綜合法證明，可考慮運(yùn)用基本不等式．證明a，b，c＞0，根據(jù)均值不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b推理與證明只要是格式，＋a≥2c。三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．即＋＋≥a＋b＋c。 綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性．【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b為互不相等的正數(shù)，且a＋b＝1，證明：＋＞4。
證明＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4。又a與b不相等．故＋＞4。考向二分析法的應(yīng)用【例2】已知m＞0，a，bR，求證：2≤。[審題視點(diǎn)] 先去分母，合并同類項(xiàng)推理與證明只要是格式，化成積式．證明m＞0，1＋m＞0。所以要證原不等式成立，只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證． 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵．【訓(xùn)練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且a＜b。求證：＞。證明要證明＞，由于a，b，m都是正數(shù)，只需證a(b＋m)＜b(a＋m)，只需證am＜bm，由于m＞0，所以，只需證a＜b。已知a＜b，所以原不等式成立． (說(shuō)明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)考向三反證法的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)用反證法證明f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根．[審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問(wèn)假設(shè)存在x0＜0后，應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x0＜0矛盾即可．證明(1)法一任取x1，x2(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0。
所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0。又因?yàn)閤1＋1＞0，x2＋1＞0，所以－＝＝＞0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0，故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．法二f′(x)＝axln a＋＞0，f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－，又0＜ax0＜1，所以0＜－＜1，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設(shè)矛盾．故f(x0)＝0沒(méi)有負(fù)根． 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．【訓(xùn)練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行．證明假設(shè)向量a＋b與a－b平行，即存在實(shí)數(shù)λ使a＋b＝λ(a－b)成立，則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，a，b不平行，得所以方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故原命題成立．1