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1、 1 第一章 參考答案： 1 （1） 0 221 4 3 3 7 ，有理數，所以周期為 14 （2） 0 22 12 1 6 ，無理數，非周期 2 （1） 1 2 3 3 2 1 (2) 當 0 n 時 1 1 y( ) 0.5 2 2 3 nmm n m n 當 1 n 時 4 y( ) 0.5 2 2 3 n nmm n m n 3 線性，時變 4 （1）因果，不穩定 （2）非因果，穩定 5 單位抽樣響應： 1 1 () ( 1 ) () 2 n hn un n 2 1 2 (n m) 1 y( ) ( ) * ( ) 1 1 2 (n 1) e ( ) 1 2 2 n jn m jj n
2、 j n j m nx nh n e ee uu n e 第二章 1 求下列序列的 Z 變換并畫出零、極點圖。 （1） x( ) n na （2） 0 x( ) sin( ) 0 nn nn 2 分別用乘除法、留數定理和部分分式法求下列 X(Z)的反變換。 1 X(z) 1 za z az a 答案： 11 1 x( ) ( ) (a ) (n 1) n nn u aa a 3 4 3 有一信號 y(n)，它與另兩個信號 x1(n)和 x2(n)的關系是： 12 () ( n3 ) * x( 1 ) yn x n 其中數字信號處理matlab版答案， 12 11 x() () , x() () 23 nn nu nnu n
3、 利用 Z變換性質求 y(n)的 Z變換 Y(Z)。 實驗2-1 離散系統的分析的基本理論 實驗目的：加深對離散系統基本理論和方法的理解 1 一線性移不變離散時間系統的單位抽樣響應為 ( ) (1 0.3 0.6 ) ( ) nn hn un (1) 求該系統的轉移函數 () H z ，并畫出其零-極點圖； (2) 寫出該系統的差分方程。 5 解： （1）系統的轉移函數是是其單位抽樣響應的Z變換，因此 12 12 123 1113 3 . 81 . 0 8 () 1 1 0.3 1 0.6 (1 )(1 0.3 )(1 0.6 ) 3 3.8 1.08 1 1 1.9 1.08
4、0.18 zz Hz zz Z zzz 系統的零極點圖如下圖所示： B=3,-3.8,1.08; A=1,-1.9,1.08,-0.18; Z,P,K=tf2zp(B,A); (B,A) Z = 0,0.8361,0.4306 P =1.0000, 0.6000,0.3000 (2) 由于 12 123 ( ) 3 3.8 1.08 () ( ) 1 1.9 1.08 0.18 Yz z z Hz Xz z z z 所以系統的差分方程： ( ) 1.9 ( 1) 1.08 ( 2) 0.18 ( 3) 3 ( ) 3.8 ( 1) 1.08 ( 2) yn yn yn
5、 yn xn xn xn 2 已知用下列差分方程描述的一個線性移不變因果系統 ()(1 )(2 )(1 ) yn yn yn xn 6 （a） 求這個系統的系統函數 () () () Yz Hz X z ，畫出 () H z 的零-極點圖并指出其 收斂區域； （b） 求此系統的單位抽樣響應； 解：(a) 1 12 () () () 1 Yz z Hz Xz z z |Z|1.618 B=0,1; A=1,-1,-1; Z,P,K=tf2zp(B,A); (B,A); Z =0 P = -0.6180,1.6180 (b) B=0,1; A=1,-1,-1; h,t=impz(B,A
6、,50); Stem(t,h,.); 7 3 一個離散時間系統的一對共軛極點： 4 1 0.8 j p e ， 4 2 0.8 j pe ，在原點有二 階重零點。 （1） 寫出該系統的轉移函數 () H z ，畫出零-極點圖； （2） 試用零-極點分析的方大致畫出其幅頻響應（02） ； （3） 若輸入信號 () () xnu n ，并且系統有初始條件 (2 ) (1 )1 yy ,求該系統 的輸出 () y n 解： （1）依題意： 2 12 11 12 44 11 () 0.8 () () 1 1 . 1 30 . 6 4 (1 0.8 )(1 0.8 ) jj z Hz z zpzp z
7、z ez ez B=1; A=1,-1.13,0.64; Z,P,K=tf2zp(B,A); (B,A); 8 (2) 由H(z)的表達式，不難求出， 當w=0時， 0 ( ) 1/ 0.51 2; j He 當w=時， ( ) 1/ 2.77 0.36; j He 當w=/4時， 4 ( ) 1/ 0.256 4 j He ，峰值。 B=1; A=1,-1.13,0.64; H,w=freqz(B,A,256,whole,1); (1); (2,1,1); plot(w,abs(H) (2,1,2); plot(w,angle(H) 9 (
8、3)此處給出的系統初始條件不為零，因此系統的輸出由兩部分組成，一是零輸 入解，二是零狀態解。 求零輸入解： 1 1 1 12 0 () () 0.49 0.64 () , 1 1.13 0.64 () N km km k oi N k k akz ymz z Yz zz akz /4 /4 ( ) (0.245 0.3206)0.8 ( ) (0.245 0.3206)0.8 ( ) nj n nj n oi y n j eu n j eu n 求零狀態解： 由 () () xnu n 可知， 1 1 () 1 Xz z 12 1 () 11 . 1 3 0 . 6 4 Hz zz 1 11
9、44 1/ 4 1/ 4 1 11 () ()() 1 (1 0. 8 )(1 0. 8 ) 1.9608 0.4804 0.6286 0.4804 0.6286 1 1 0.8 1 0.8 jj jj Yz HzXz z ez ez jj ze ze z 10 /4 /4 0 ( ) 1.9608 ( ) ( 0.4804 0.6286)0.8 ( ) ( 0.4804 0.6286)0.8 ( ) nj n nj n s ynu n j eu n j eu n 系統輸出： 0 /4 /4 () () () 1.9608 ( ) (0.2354 0.308)0.8 ( ) (0.2354 0
10、.308)0.8 ( ) os i nj n nj n yn y n y n un j e un j e un y0=1 1; xic=(b,a,y0); N=100;n=0:N-1;xn=ones(1,N); yn=(b,a,xn,xic); plot(n,yn); 實驗2-2 離散系統的差分方程、沖激響應和卷積分析 實驗內容：編制程序求解下列兩個系統的單位沖激響應和階躍響應，并繪出其圖 形。 1 2 125 . 0 1 75 . 0 n x n x n y n y n y 4 3 2 1 25 . 0 n x n x n x n x n y 實驗要求：給出理論計算結
11、果和程序計算結果并討論。 11 解：(1) 1 2 125 . 0 1 75 . 0 n x n x n y n y n y 轉移函數為： 1 12 1 ( ) , 0.5 1 0.75 0.125 z Hz z zz 利用r,p,k=(num,den),則 11 65 () 1 0.5 1 0.25 Hz zz ， 單位抽樣響應（沖激響應）為： ( ) 6( 0.5) ( ) 5( 0.25) ( ) nn hn un un 即 (0) 1, (1) 1.75, (2) 1.1875, (3) 0.6719, (4) 0.3555,. hh h h h 階躍響應為： 0 (
12、) , , 0 mm yn xn hn xmhn m hn mn mm 即 (0) 1, (1) 0.75, (2) 0.4375, (3) 0.2344, (4) 0.1211,. yy y y y 利用函數 h=impz(b,a,N)和 y=(b,a,x)分別繪出沖激和階躍響應： b=1,-1; a=1,0.75,0.125; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100); y1=(b,a,x); (1) (2,1,1); plot(h); (2,1,2); plot(y1); 12 (2) 4 3 2 1 2
13、5 . 0 n x n x n x n x n y 轉移函數為： 1234 ( ) 0.25( ) Hz z z z z 沖激響應為： ( ) 0.25( ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) hn n n n n 即 (0) 0, (1) 0.25, (2) 0.25, (3) 0.25, (4) 0.25, ( ) 0,( 4) hhhhh h nn 其余 階躍響應為： 0 ( ) , , 0 mm yn xn hn xmhn m hn mn mm 即 (0) 0, (1) 0.25, (2) 0.5, (3) 0.75, ( ) 1,( 3) yyyy y nn 其余 利用函數h=im
14、pz(b,a,N)和y=(b,a,x)分別繪出沖激和階躍響應 b=0,0.25,0.25,0.25,0.25; a=1; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100);y=(b,a,x) (1) (2,1,1); stem(h,.); (2,1,2); plot(y,.); 13 實驗2-3 離散系統的頻率響應分析和零、極點分布 實驗目的：加深對離散系統的頻率響應分析和零、極點分布的概念理解。 在中，可以用函數z，p，K=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的 系統轉移函數的零、極點，用函數 z
15、plane（z，p）繪出零、極點分布圖；也可以 用函數（num，den）直接繪出有理分式形式的系統轉移函數的零、極點分 布圖。 另外，在中，可以用函數 r，p，k=（num，den）完成 部分分式展開計算；可以用函數sos=（z，p，K）完成將高階系統分解為 2階系統的串聯。 實驗內容：求系統 12345 12345 0.0528 0.797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528 () 1 1.8107 2.4947 1.8801 0.9537 0.2336 zzzzz Hz zzzzz 的零、極點和幅度頻率響應。 實驗要求：
16、編程實現系統參數輸入，繪出幅度頻率響應曲線和零、極點分布圖。 解：利用函數z，p，k=tf2zp（b，a）求出零極點： b=0.0528,0.797,0.1295,0.1295,0.797,0.0528; 14 a=1,-1.8107,2.4947,-1.8801,0.9537,-0.2336; z,p,k=tf2zp(b,a); (b,a) h,w=freqz(b,a,256,whole,1); (2) (1,2,1);plot(w,abs(h); (1,2,2);plot(w,(angle(h) z= -14.9370 p=
17、0.2788 + 0.8973i k= 0.0528 0.4546 + 0.8907i 0.2788 - 0.8973i 0.4546 - 0.8907i 0.3811 + 0.6274i -1.0000 0.3811 - 0.6274i -0.0669 0.4910 15 第三章 習題部分： 1 設信號x(n0=1,2,3,4,通過系統h(n)=4,3,2,1, n=0,1,2,3; (1)求系統的輸出y(n)=x(n)*h(n); (2)試用循環卷積計算y(n); (3)簡述通過DFT來計算y(n)的思路。 解 （1）y(n)=4,11,20,30,20,11,4 (2)通過圓卷積（DFT
18、 算法）求系統的輸出過程如下： 取 8 7 1 4 4 1 2 1 N N L 令 7 4 , 0 3 0 ), ( ) ( n n n x n x , 7 4 , 0 3 0 ), ( ) ( n n n h n h ) , ( ) ( , ) , ( ) ( L h FFT k H L x FFT k X ) ( ) ( ) ( k H k X k Y 16 ) ( ) ( Y IFFT n y 2 設有兩個序列為： () , 0 5 () 0, xn n xn 其他 , () , 0 1 4 () 0, yn n yn 其他 ，各 作15點的DFT， 然后將兩個DFT相乘， 再求乘積的I
19、DFT， 設所得結果為f(n)， 問f(n)的哪些點對應于x(n)*y(n)應該得到的點。 答：5-14 3. 有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點數必須是2的整數冪。假定沒有 采用任何特殊的數據處理措施，已給條件為： （1）頻率分辨力10Hz (2)抽樣時間間隔為0.1ms，試確定以下參量： （1）最小記錄長度Tp； （2）所允許處理的信號的最高頻率； （3）在一個記錄中的最少點數N。 解： 頻率分辨率 11 10 s sp f f Hz NN Tt ，所以 0.1 p ts 設采樣頻率為 s f ，則根據采樣定理，有 max 11 1 5 22 s s f fK H z T 一個記錄中
20、的最少點數 10000 1000 10 s f N f 考慮使用 FFT 算法，取 N=1024 4 已知x(n)是長為N的有限長序列， () () XkD F Tx n , 現將長度擴大r倍，得 長度為rN的有限長序列 () , 0 1 () 0, 1 xn n N yn Nnr N ， 求： () DFT y n 與 () X k 的關系。 已知 x(n)是長為 N 的有限長序列,X(K)=DFTx(n),現將 x(n)的每兩點之間補進 r - 1個零點,得到一長為r N的有限長序列y ( n )， 17 n N i ir n r n x n y 其他 , 0 1 , , 0 , ), /
21、 ( ) ( 求：DFTy(n)與 X(k)的關系。 解： 1 0 11 00 () () () () () () N kn N n k rN N n kn r rN N nn Xk xnW k Yk ynW xnW X r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 0 1 0 k X W i x W n y k Y W n x k X N i ki N rN n kn rN N n kn N 5 試畫出 N=16 點基 2-按時間抽取的 FFT 運算流圖，說明共有多少級，每級有 多少個蝶形單元，并寫出每一級的旋轉因子。 50 , 5 . 512 () , 如果一臺通用計算機
22、的速度為平均每次復乘需 每次復加 用它來計算 點 的 問直接計算需要多少時間，用 運算需要多少時間。 us us DFT x n FFT 答：共有4級，每級都有8個蝶形單元 18 2 2 2 *50 13.11( ) 1)*5 1.308( ) 512 14.418( ) log *50 256*9*50 0.1152( ) 2 log *5 512*9*5 0.02304( ) 直接計算 需要復乘次數 直接計算 需要復加次數 （ 直接計算 點 共需要時間 用 運算需要復乘次數 用 運算需要復加次數 N N DFT N s DFT N N s DFT s N FFT s FFT N s 512
23、 0.13824( ) 用 來計算 點共需時間 FFT s 實驗內容與指導 實驗 1 抽樣定理的實驗體會 實驗目的：加深對抽樣定理的理解 實驗內容：任選一個下述五個連續時間信號 () x t 轉換成離散時間信號() s x nT ，在 計算機上繪出() s x nT 的圖形。 1/ s s f T 為抽樣頻率。自行依次選取不同的抽樣頻 率，如 0000 0.5 , ,2 ,5 s f ffff 等，以體會對不同的信號，或者同一信號采用多大的 抽樣頻率較為合適。 （1） 工頻信號： 10 () s i n ( 2 ) xtA f t ， 220 A ， 0 50 f Hz （2） 衰減正弦信號：
24、 20 () s i n ( 2 ) t xtA e f t ， 2 A ， 0.5 ， 0 2 f Hz （3） 諧波信號： 3 20 1 () s i n ( 2 ) i i xtAf i t ， 1 1 A ， 2 0.5 A ， 3 0.2 A ， 0 5 f Hz （4） （哈明）窗： 40 ( ) 0.54 0.46cos(2 ) xtf t ， 0 f 由同學自選給定。 (5) sinc函數： 5 sin( ) () t xt t ， 2 f ， 10 f Hz 實驗 2 離散信號的 DTFT 和 DFT 實驗目的：加深對離散信號的 DTFT 和 DFT 的及其相互
25、關系的理解。 實驗內容： 分別計算16點序列 15 0 , 16 5 cos ) ( n n n x 的16點和32點DFT， 繪出幅度譜圖形，并繪出該序列的DTFT圖形。 19 實驗要求：討論 DTFT 和 DFT 之間的相互關系。說明實驗產生的現象的原因。 實驗 3 正弦信號抽樣的實驗 給定信號 00 () s i n ( 2 ) , 5 0 xtf t fH z ，現對 x(t)抽樣，設抽樣點數 N=16. 我們 知道正弦信號的頻譜是在 0 f 處的 函數，將 x(t)抽樣變成 x(n)后，若抽樣率及 數據長度 N取得合適， 那么 x(n)的 DFT 也應是在 50Hz 處的 函數， 由
26、 定理，有 1 2 2 50 0 2 () N tf n E xn X E N 50 X 表示 x(n)的 DFT 在 50Hz 處的譜線，若上式不等，說明 X(k)在頻域有泄 露。給定以下抽樣頻率（a） 100 s f Hz ， （a） 150 s f Hz ， （c） 200 s f Hz ， （1）分別得到 x(n)及計算其 X(k)，并用 定理研究其泄露情況； （2）當取 200 s f Hz ，N=16 時，在抽樣點后面再補 N個零，得到 () x n ，這時 () x n 是 32點序列，求 () x n 的 DFT () X k ，觀察正弦信號
27、補零的影響。 （3）觀察抽樣得到 x(n)及 X(k)，總結對正弦信號抽樣應掌握的原則； 實驗 4 快速 變換(FFT)及其應用 一、實驗目的 1 在理論學習的基礎上，通過本實驗，加深對 FFT 的理解，熟悉 FFT 子程序。 2 熟悉應用 FFT 對典型信號進行頻譜分析的方法。 3 了解應用 FFT 進行信號頻譜分析過程中可能出現的問題以便在實際中正確應用 FFT。 4 熟悉應用 FFT 實現兩個序列的線性卷積的方法。 三、實驗內容及步驟 實驗中用到的信號序列： a) 序列 20 b) 衰減正弦序列 c) 三角波序列 d) 反三角波序列 上機實驗內容： (1)
28、、觀察高斯序列的時域和幅頻特性，固定信號 x a (n)中參數 p=8，改變 q 的值，使 q 分別 等于 2，4，8，觀察它們的時域和幅頻特性，了解當 q 取不同值時，對信號序列的時域幅頻 特性的影響；固定 q=8，改變 p，使 p 分別等于 8，13，14，觀察參數 p 變化對信號序列的 時域及幅頻特性的影響，觀察 p 等于多少時，會發生明顯的泄漏現象，混疊是否也隨之出 現？記錄實驗中觀察到的現象，繪出相應的時域序列和幅頻特性曲線。 (2)、觀察衰減正弦序列 x b (n)的時域和幅頻特性，a=0.1，f=0.0625，檢查譜峰出現位置是否 正確，注意頻譜的形狀，繪出幅頻特性曲線，改變 f
29、，使 f分別等于 0.4375 和 0.5625，觀察 21 這兩種情況下，頻譜的形狀和譜峰出現位置，有無混疊和泄漏現象？說明產生現象的原因。 (3)、觀察三角波和反三角波序列的時域和幅頻特性，用 N=8 點 FFT 分析信號序列 x c (n)和 x d (n)的幅頻特性，觀察兩者的序列形狀和頻譜曲線有什么異同？繪出兩序列及其幅頻特性 曲線。 在 x c (n)和 x d (n)末尾補零，用 N=16點 FFT 分析這兩個信號的幅頻特性，觀察幅頻特性 發生了什么變化？兩情況的 FFT 頻譜還有相同之處嗎？這些變化說明了什么？ (4)、一個連續信號含兩個頻率分量，經采樣得 x(n)=sin2
30、*0.125n+cos2 *(0.125+ f)n n=0,1,N-1 已知 N=16數字信號處理matlab版答案， f分別為 1/16 和 1/64，觀察其頻譜；當 N=128 時， f不變，其結果有何不 同，為什么？ (5)、用 FFT 分別實現 x a (n)（p8，q2）和 x b (n)（a0.1，f0.0625）的 16 點圓周卷積 和線性卷積。 (6)、產生一 512 點的隨機序列 x e (n)，并用 x c (n)和 x e (n)作線性卷積，觀察卷積前后 x e (n)頻 譜的變化。要求將 x e (n)分成 8 段，分別采用重疊相加法和重疊保留法。 四、實驗思考 1.實驗中的信號序列 x c (n)和 x d (n)，在單位圓上的 Z 變換頻譜|X c ( j )|和|X d ( j )|會相同嗎？如 果不同，你能說出哪一個低頻分量更多一些嗎？為什么？ 2. 對一個有限長序列進行 DFT 等價于將該序列周期延拓后進行 DFS 展開，因為 DFS 也只 是取其中一個周期來計算，所以 FFT 在一定條件下也可以用以分析周期信號序列。如果實 正弦信號 sin(2 fn),f=0.1用 16 點 FFT 來做 DFS 運算，得到的頻譜是信號本身的真實譜嗎？