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前言

各位有過分類刷題的小伙伴，可能看到很多人分類 字符串、貪心、動態(tài)規(guī)劃、bfs、dfs、大數(shù)、數(shù)論等，初聽大數(shù)，你可能會差異：大數(shù)是個啥？聽起來怪高大上的。

這個數(shù)字一般用字符串、鏈表等形式表示、返回，大數(shù)運算的核心就是：模擬，模擬我們?nèi)粘Ｓ眉埞P算數(shù)字的加減乘除流程，然后再根據(jù)計算機、編程語言等特性適當存儲計算即可，不過，大數(shù)除法運算稍微特殊一點，和我們直接模擬的思維方式稍有不同，它就是轉(zhuǎn)換了一下成特殊的加減法運算，后面會細談。

大數(shù)加法

大數(shù)加法是最簡單的，簡單模擬即可。首先，我們想一下兩個數(shù)加法的流程：從右向左計算求和、進位，一直到最后。

在編程語言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的過程，不過在具體實現(xiàn)上需要注意一些細節(jié)。

1. 枚舉字符串將其轉(zhuǎn)換成 char[]提高效率

2. 從右往左進行計算，可以將結(jié)果放到一個數(shù)組中最后組成字符串，也可以使用 StringBuider 拼接，拼接的時候最后要逆置一下順序。

3. 余數(shù)每次疊加過需要清零，兩數(shù)相加如果大于等于 10 即有余數(shù)，添加到結(jié)果中該位置的數(shù)也應(yīng)該是該數(shù) %10 的結(jié)果。

4. 計算完最后還要看看余數(shù)是否為1，如果為1需要將其添加到結(jié)果，例如 "991"+"11"算三個位置為002但還有一個余數(shù)需要添加，所以應(yīng)該是1002。

一個加法流程

當然在具體實現(xiàn)上方法較多，你可以首先就將字符串逆置然后從前往后就可以計算了。當然我這里實現(xiàn)的是字符串從后向前各個位對應(yīng)計算，然后將結(jié)果順序添加到 StringBuilder 上。

這題在力扣【415兩數(shù)相加】可以檢驗自己代碼，實現(xiàn)代碼為：

public String addStrings(String num1, String num2) {
// 公眾號：bigsai 歡迎你的關(guān)注
int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
char ch1[]=num1.toCharArray();
char ch2[]=num2.toCharArray();

 StringBuilder sb=new StringBuilder();
int remainder=0;//計算余數(shù)
while (len1>=0||len2>=0)
 {
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
int num=n1+n2+remainder;//求和對應(yīng)數(shù)字
 remainder=num/10;//是否進位
 sb.append(num%10);// 添加到結(jié)果字符串中
 }

if(remainder>0)//是否還需要進位
 {
 sb.append(remainder);
 }
//反裝即為結(jié)果
return sb.reverse().toString();
}

大數(shù)減法

加法對應(yīng)的就是減法，有了上面大數(shù)加法的實現(xiàn)思路，那么我想你在大數(shù)減法也應(yīng)該有點想法，但是減法和加法不同的是減法有位置的區(qū)別，加法需要進位而減法需要借位。并且大整正數(shù)減法可能產(chǎn)生正負也不一定。

兩個正數(shù)，如果大數(shù)減去小數(shù)，那么一切正常，結(jié)果是一個正數(shù)；但如果小數(shù)減去大數(shù)，那么結(jié)果將是一個負數(shù)，并且結(jié)果處理起來比較麻煩。所以在這里全部轉(zhuǎn)成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)。

1. 執(zhí)行計算前首先比較減數(shù)(num1)和被減數(shù)(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模擬num1-num2的過程，如果num1<num2，那么結(jié)果就為-(num2-num1) 。當然可以為了穩(wěn)定模擬時候一個大一個小，可將 num1 始終指向較大的那個數(shù)，少寫一個 if/else.

2. 在比較兩個數(shù)字大小的時候，因為是字符形式，首先比較兩個字符串的長度，長的那個更大短的那個更小，如果兩個字符串等大，那么就可以通過字典序從前往后進行比較(Java 可直接使用 compareTo 方法)。

3. 和加法不同的是，減法前面可能產(chǎn)生若干前綴 0，這些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"計算得到的結(jié)果為"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。

4. 具體實現(xiàn)的時候和加法相似，如果使用 StringBuilder 存儲，需要逆置順序，如果是個負數(shù)，前面還要加上'-'.

5. 每個位置正常進行減法運算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么處理上一位進行減法時候還要將借位的處理一下。

這題在力扣上沒有原題，但是可以在小米 OJ【大數(shù)相減】上驗證自己代碼的正確性，具體實現(xiàn)的代碼為：

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
if(num1.length()<num2.length())
return false;
else if(num1.length()>num2.length())
return true;
else
return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static String subtractString(String num1,String num2) {
char sign='+';//正負號
//讓num1>num2 如果num1<num2 那么結(jié)果就是—(num2-num1) 
//可以先將num1和num2交換和前面情況統(tǒng)一
if(!compare(num1,num2))
 {
 sign='-';
 String team=num2;
 num2=num1;
 num1=team;
 }
int len1=num1.length()-1;
int len2=num2.length()-1;

char ch1[]=num1.toCharArray();
char ch2[]=num2.toCharArray();
 StringBuilder sb=new StringBuilder();
int borrow=0;//借位
while (len1>=0||len2>=0)
 {
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

int num=n1-n2-borrow;
 borrow=0;
if(num<0)//需要向前借位
 {
 borrow=1;
 num+=10;
 }
 sb.append(num);
 }

 sb=sb.reverse();//需要先翻轉(zhuǎn)
int index=0;//去掉前面沒用的’0‘
while (index<sb.length()&&sb.charAt(index)=='0')
 {
 index++;
 }
//如果兩個數(shù)相同 直接返回"0"
if(index==sb.length())
return "0";
if(sign=='+')//如果正數(shù) 
return sb.substring(index);
else return sign+sb.substring(index);//負數(shù)需要返回
}

大數(shù)乘法

大數(shù)乘法乍一想可能比較復雜，因為乘法比起加法可能進位不光是1，還有兩個數(shù)各種位置都需要相乘計算，這時候就需要我們化繁為簡了。

多*多考慮起來可能有些麻煩，但是如果多*一考慮起來呢？如果是多位乘以一位數(shù)，那么就拿一位的分別乘以多位數(shù)的個位、十位、百位，在計算的同時考慮一下進位的情況。

但是也可以先直接用 int 類型數(shù)組存儲各位的乘積然后從右向左進行進位，如下圖所示。

而多*多 也是這個道理，將不同位乘積先疊加到對應(yīng)位置上，然后從右向左進位，一直到不需要進位為止。

一個乘法流程

你可能會疑問，如果兩個數(shù)組的長度分別為a和b這個數(shù)組到底該開多大呢？

• a+b大小就夠了，怎么分析呢？其中一個a不變。另一個b變成最小b+1數(shù)字即十的倍數(shù)，那么這樣在相乘的時候也不過是a+b長度，所以這里a+b長度就夠了。

這題有力扣對應(yīng)題可以去試試【43字符串相乘】，具體代碼為：

public String multiply(String num1, String num2) {
if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
char a[]=num1.toCharArray();
char b[]=num2.toCharArray();

int value[]=new int[a.length+b.length];

for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
 {
for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
 {
int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
 value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
 }
 }
for(int i=0;i<value.length-1;i++)
 {
 value[i+1]+=value[i]/10;
 value[i]=value[i]%10;
 }
int index=value.length-1;
while(value[index]==0)
 {index--;}
 StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
while (index>=0) {
 sBuilder.append(value[index--]);
 }
return sBuilder.toString();
}

大數(shù)除法

大數(shù)加減乘都搞定了，通過模擬來實現(xiàn)，但是大數(shù)除法也通過模擬來實現(xiàn)？

并不是，對于大數(shù)a/b，一般最多要求求到其整數(shù)解或者余數(shù)，即a/b=c……d（a,b,c,d均為整）;也就是a里面有c個b，并且還剩下d。核心是先求c是多少，對于程序來說，可以通過枚舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減為止。

但是有個問題，如果被除數(shù)a很大很大，可能有居多個b，那么這樣時間復雜度太高了，不可能執(zhí)行那么多次，那么需要怎么樣去優(yōu)化這個方法呢？

那就要加速尋找次數(shù)，減少這個減法的次數(shù)了，減法次數(shù)減小的一個最好方案就是能不能擴大除數(shù)b。如果b后面加個'0'，那么算出來的結(jié)果就乘以10，減法的次數(shù)變成原來十分之一。根據(jù)這個思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(shù)(小于a)計算減的次數(shù)再換算成減b的總詞數(shù)，將結(jié)果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后為止,這雖然是一道除法運算的題，但是也蘊含減法和加法(次數(shù)疊加到結(jié)果中)。

當然，也有一些人使用二分法來壓縮尋找可以被減的次數(shù)也是可以的(加法可以迭代數(shù)字實現(xiàn)二分倍數(shù))，具體實現(xiàn)的話也不是很困難，但是代碼量可能比較多所以一般的面試筆試不會讓你現(xiàn)場寫的，所以好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼即可。

這部分代碼我也簡單給一下(其他函數(shù)上面貼過就不重復貼啦)：

//假設(shè) num1>num2
public static String divideString(String num1,String num2)
{
 String value="0";//結(jié)果
while (compare(num1,num2))
 {
 StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用這個往后面不斷加0 和num做減法
 StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次數(shù) 可能很大
int subLen=num1.length()-num2.length();//統(tǒng)計大概要加幾個零 
for(int i=0;i<subLen;i++)
 {
 sbTeam.append('0');
 sbCount.append('0');
 }
//如果0 加多了 那么要刪一個 類似"12300" / "23" "12300"比"23000"小
//所以要 "2300" 對應(yīng)比"23"擴大 "100"倍數(shù)，每減一次"2300" 則結(jié)果加"100"
if(!compare(num1,sbTeam.toString()))
 {
 sbTeam=sbTeam.deleteCharAt(sbTeam.length()-1);
 sbCount=sbCount.deleteCharAt(sbCount.length()-1);
 }
// 一直能減的時候
while (compare(num1,sbTeam.toString()))
 {
 num1=subtractString(num1,sbTeam.toString());
 value=addStrings(sbCount.toString(),value);
 }
 }
return value;
}

簡單測試了下，正確性還是ok的：

番外篇

除了上面直接的大數(shù)加減乘除，還有一些變形的題目需要我們特殊處理一下，比如可能會使用鏈表等存儲處理，下面分享兩道題。

兩數(shù)相加(力扣02)

題目描述：

給你兩個 非空 的鏈表，表示兩個非負的整數(shù)。它們每位數(shù)字都是按照 逆序 的方式存儲的，并且每個節(jié)點只能存儲 一位 數(shù)字。請你將兩個數(shù)相加，并以相同形式返回一個表示和的鏈表

你可以假設(shè)除了數(shù)字 0 之外，這兩個數(shù)都不會以 0 開頭。

提示：

• 每個鏈表中的節(jié)點數(shù)在范圍 [1, 100] 內(nèi)

• 0 &lt;=Node.val &lt;=9

• 題目數(shù)據(jù)保證列表表示的數(shù)字不含前導零

本題其實就是用一個鏈表存儲一個數(shù)字(逆序存儲)，你需要給它計算出結(jié)果后在 逆序 存儲到一個鏈表中返回。

所謂加法的運算規(guī)則：從兩個數(shù)的最低位進行計算，進行到下一位的時候需要考慮進位問題。一直到最后，而本題所給的鏈表剛好可以用來直接計算，因為鏈表頭都是數(shù)字最低位可以直接相加，然后一直遍歷到結(jié)束。可以用一個常數(shù)表示進位。

在具體實現(xiàn)(鏈表)的時候：

• 創(chuàng)建新的鏈表，每次將計算的數(shù)值插入到鏈表尾部即可。

• 需要準確表示進位，并且最后要考慮以下進位

• 妥善返回正確節(jié)點，可以用一個頭節(jié)點用來使得所有節(jié)點都正常操作，而不需要特殊判斷。
  通過代碼第一次比較啰嗦的寫法：

當然，如果你遍歷鏈表把各個數(shù)字取出來，使用字符串、數(shù)字轉(zhuǎn)換然后相加得到一個數(shù)字，最后在轉(zhuǎn)成字符串、鏈表的理論可以，可以自行實現(xiàn)。

優(yōu)化后的代碼為：

 //更簡潔的寫法
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
 ListNode node=new ListNode(0);
 ListNode team=node;
int jin=0;//進位
while(l1!=||l2!=)
 {
int num=jin;
if(l1!=)
 {
 num+=l1.val;l1=l1.next;
 }
if(l2!=)
 {
 num+=l2.val;l2=l2.next;
 }
 jin=num/10;
 num%=10;
 team.next=new ListNode(num);
 team=team.next;

 }
if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin);
return node.next;
}

兩數(shù)相加2(力扣445)

題目描述：

給你兩個 非空 鏈表來代表兩個非負整數(shù)。數(shù)字最高位位于鏈表開始位置。它們的每個節(jié)點只存儲一位數(shù)字。將這兩數(shù)相加會返回一個新的鏈表。

你可以假設(shè)除了數(shù)字 0 之外，這兩個數(shù)字都不會以零開頭。

進階：如果輸入鏈表不能修改該如何處理？換句話說，你不能對列表中的節(jié)點進行翻轉(zhuǎn)。

示例：

輸入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4)

輸出：7 -> 8 -> 0 -> 7

本題的話和上面不一樣鏈表不是逆置的，但是加法運算其實需要從最后面對齊開始，也就是理論上應(yīng)該從鏈表尾部開始向前，但是這是個單鏈表，這樣運算的話時間復雜度太高，所以我們要用空間換時間：用棧來解決。

將鏈表的節(jié)點依次放到兩個棧中，然后兩個棧同時取數(shù)計算。但是待返回的是個鏈表，所以采取頭插法即可(如果不頭插最后反轉(zhuǎn)也可)，具體流程可以參考如下圖：

實現(xiàn)代碼為：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * public class ListNode {
 * int val;
 * ListNode next;
 * ListNode(int x) { val=x; }
 * }
 */
class Solution {
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
 Stack<Integer>stack1=new Stack<>();
 Stack<Integer>stack2=new Stack<>();
while (l1!=)
 {
 stack1.add(l1.val);
 l1=l1.next;
 }
while (l2!=)
 {
 stack2.add(l2.val);
 l2=l2.next;
 }
 ListNode val=new ListNode(0);//帶頭結(jié)點
int moreadd=0;//余數(shù)
while (!stack1.isEmpty()||!stack2.isEmpty()||moreadd!=0)
 {
int num=moreadd;//num=余數(shù)+鏈表1+鏈表2
if(!stack1.isEmpty())
 num+=stack1.pop();
if(!stack2.isEmpty())
 num+=stack2.pop();
 moreadd=num/10;
 num=num%10;
//鏈表頭插
 ListNode node=new ListNode(num);
 node.next=val.next;
 val.next=node;
 }
return val.next;
 }
}

結(jié)語

到這里，大數(shù)的加減乘除基本都講解完啦，不知道你有沒有收獲，因為這里的大數(shù)都是用字符串的方式存儲和處理，遇到的最多，但是也可能遇到一些鏈表、數(shù)組等其他形式存儲的需要處理，但是整體的思想都是一樣的。

光看沒有還要多多練習對應(yīng)的題目，當然本人水平有限上面理解可能有誤或者不到位還請指正！

為了寫論文給 Linux “投毒”，導致整個大學都被 Linux 拉黑！