投入產出數學模型在經濟活動中分析投入多少財力、物力、人力，產出多少社會財富是衡量經濟效益高低的主要標志。投入產出技術正是研究一個經濟系統各部門間的“投入”與“產出”關系的數學模型，該方法最早由美國著名的經濟學家瓦.列昂捷夫（W.）提出，是目前比較成熟的經濟分析方法。一、投入產出數學模型的概念投入～從事一項經濟活動的消耗；產出～從事經濟活動的結果；投入產出數學模型～通過編制投入產出表，運用線性代數工具建立數學模型，從而揭示國民經濟各部門、再生產各環節之間的內在聯系，并據此進行經濟分析、預測和安排預算計劃項目進度計劃表范例計劃下載計劃下載計劃下載課程教學計劃下載。按計量單位不同，該模型可分為價值型和實物型。表7.1：投入產出表流量產出投入消耗部門最終需求總產出消費累計出口合計生產部門新創價值工資純收入合計總投入投入產出表描述了各經濟部門在某個時期的投入產出情況。它的行表示某部門的產出；列表示某部門的投入。如表7.1中第一行x1表示部門1的總產出水平，x11為本部門的使用量，(j=1,2,…,n)為部門1提供給部門j的使用量，各部門的供給最終需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社會儲備等）為(j=1
,2,…,n)。這幾個方面投入的總和代表了這個時期的總產出水平。投入產出的基本平衡關系從左到右：中間需求＋最終需求＝總產出(7-9)從上到下：中間消耗＋凈產值＝總投入(7-10)由此得產出平衡方程組(也稱分配平衡方程組)：(7-11)(7-12)需求平衡方程組：(7-13)投入平衡方程組(也稱消耗平衡方程組)：(7-15)(7-14)由(7-11)和(7-14)，可得(7-16)這表明就整個國民經濟來講，用于非生產的消費、積累、儲備和出口等方面產品的總價值與整個國民經濟凈產值的總和相等。二、直接消耗系數定義7.2.1第j部門生產單位價值所消耗第i部門的價值稱為第j部門對第i部門的直接消耗系數，記作。由定義得(7-17)把投入產出表中的各個中間需求換成相應的后得到的數表稱為直接消耗系數表，并稱n階矩陣為直接消耗系數矩陣。例1已知某經濟系統在一個生產周期內投入產出情況如表7.2，試求直接消耗系數矩陣。表7.2產出投入中間消耗最終需求總產出123中間投入凈產值總投入解由直接消耗系
數的定義，得直接消耗系數矩陣直接消耗系數具有下面重要性質：性質7.2.1性質7.2.2由直接消耗系數的定義，代入(7-17)，得(7-18)令，(7-18)式可表示為，或(7-19)稱矩陣E-A為列昂捷夫矩陣。類似地把代入平衡方程(7-14)得到(7-20)寫成矩陣形式為(7-21)其中定理7.2.1列昂捷夫矩陣E-A是可逆的。如果各部門的最終需求已知，則由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一解。例2設某工廠有三個車間，在某一個生產周期內各車間之間的直接消耗系數及最終需求如表7.3，求各車間的總產值。表7.3解車間直耗系數車間ⅠⅡⅢ最終需求ⅠⅡⅢ0.250.10.10.20.20.10.10.10.即三個車間的總產值分別為400，300，350。三、完全消耗系數直接消耗系數只反映各部門間的直接消耗，不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出如下定義。定義7.2.2第j部門生產單位價值量直接和間接消耗的第i部門的價值量總和，稱為第j部門對第i部門的完全消耗系數，記作。由構成的n階方陣稱為各部門間的完全消耗系數矩陣。定理7.2.3第
j部門對第i部門的完全消耗系數滿足方程定理7.2.4設n個部門的直接消耗系數矩陣為A，完全消耗系數矩陣為B投入產出模型分析ppt，則有證明由定理7.2.3知，將個等式用矩陣表示為由定理7.2.1知(E-A)可逆，故例3假設某公司三個生產部門間的報告價值型投入產出表如表7.4，表7.4求各部門間的完全消耗系數矩陣。產出投入中間消耗最終需求總產出123中間投入解依次用各部門的總產值去除中間消耗欄中各列，得到直接消耗系數矩陣為故所求完全消耗系數矩陣為由此例可知，完全消耗系數矩陣的值比直接消耗系數矩陣的值要大的多。例4利用例1中的數據，求完全消耗系數矩陣B。解由例1知直接消耗系數矩陣于是有最后得完全消耗系數矩陣四、投入產出實現模型的簡單應用投入產出法來源于一個經濟系統各部門生產和消耗的實際統計資料。它同時描述了當時各部門之間的投入與產出協調關系，反映了產品供應與需求的平衡關系，因而在實際中有廣泛應用。在經濟分析方面可以用于結構分析，還可以用于編制經濟計劃和進行經濟調整等。編制計劃的
一種作法是先規定關于下班后關閉電源的規定黨章中關于入黨時間的規定公務員考核規定下載規定辦法文件下載寧波關于悶頂的規定各部門計劃期的總產量投入產出模型分析ppt，然后計算出各部門的最終需求；另一種作法是確定計劃期各部門的最終需求，然后再計算出各部門的總產出。后一種作法符合以社會需求決定社會產品的原則，同時也有利于調整各部門產品的結構比例，是一種較合理的作法。例5給定價值型投入產出表7.5，預先確定計劃期各部門最終需求如表7.6。根據投入產出表中的數據，算出報告期的直接消耗系數矩陣A。假定計劃期同報告期的直接消耗系數是相同的，因此把A作為計劃期的直接消耗系數矩陣。再按公式算出總產出向量X。表7.5（單位：萬元）表7.6（單位：萬元）中間需求消費積累合計總產出中間投入部門消費積累806合計817解通過數值計算得到由得出總產出向量這樣得到各部門在計劃期的總產出依次是(
萬元)：如果各部都能完成計劃期的上述總產出值，那么就能保證完成各部門最終需求的計劃任務。在求出了各部門總產出之后，根據公式可計算各部門間應提多少中間需求。具體數值表如表7.7。表7.7部門合計合計例6某地有三個產業，一個煤礦，一個發電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;生產一元錢的電力，發電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費;創收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費，在某一周內煤礦接到外地金額50000元定貨，發電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。解這是一個投入產出分析問題。設x1為本周內煤礦總產值，x2為電廠總產值,x3為鐵路總產值,則問三個企業間一周內總產值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業間相互支付多少金額？三個企業各創造多少新價值?設產出向量為，外界需求向量為，直接消耗矩陣為。則原方程為，其中E-A為列昂捷夫矩陣。投入產出矩陣為由此解得。新創造價值向量為總投入向量為表7.8投入產出分析表(單位：元)