讀

在通信、信號處理和更廣泛的電氣工程領域，信號是任意的、隨時間變化的或者隨空間變化的量。

信號可分為連續時間信號和離散時間信號：

離散信號或離散時間信號是一種時間序列，可能是從連續時間信號中采樣出來。

周期信號與非周期信號。

一個信號周期為T，那么定義其基頻f0=1/T，諧頻kf0，k=1,2,3...

任何周期信號（并不是嚴格意義上的任何）都可以由不同諧振頻率kf0信號，相疊加而成，這就是傅里葉級數展開。

一個信號有一個或多個頻率，可以從兩個不同的角度來觀察：時域和頻域。

本文就是介紹如何進行頻域的分析，當然使用計算機啦。

通過計算機中的ＭATLAB軟件自帶的FFT函數分析頻譜。

文中舉得例子看似簡單，但同學們如果真正要理解，其實是需要一定信號處理知識的積累的。

四種傅里葉變換

再來看一下經典的圖4，我認為學習通信或者數字信號處理，必須要搞明白各種不同的"傅里葉"。

圖4(a)是最為熟悉的傅里葉變換，針對非周期、連續的信號，其變換后的頻譜為連續的、非周期的。公式為

圖4(b)是傅里葉級數，針對周期、離散的信號，變換后的信號是離散的、非周期的頻譜。

圖4(c)是離散時間傅里葉變換，針對離散、非周期的信號，變換后的信號是周期的、連續的頻譜。

圖4(d)是離散傅里葉級數，針對離散的、周期的信號，變換后的頻譜是離散的、周期的。

四種傅里葉變換的可以如圖5總結。

我們發現：

• 時域的連續，總是對應著頻域的非周期；
• 時域的離散，總是對應著頻域的周期；

反之亦然。

其中FT、FS、DTFT至少有一個域不是離散的信號，所以不適合計算機去處理。

DFS滿足時域和頻域都是離散的要求，但其時域為無限長的周期序列。

所以我們只要取其中N個點，定義為主值序列，然后用來求取傅里葉變換。

這樣的傅里葉變換就是DFT，離散傅里葉變換，其公式為：

DFT的運算量大，不利于大數據量的計算。

此時，就出現了快速傅里葉變換，即FFT。

FFT是DFT的快速算法，可以節省大量的計算時間，其本質仍然是DFT。

DFT的時域與頻域的聯系

仔細觀察圖4的DFS系列，主值序列有N個點。

在時域中，如果離散信號是以T1為周期向兩邊延拓，那么頻域的譜間隔為f1=1/T1；

同樣的，如果在頻域是以fs為周期向兩邊延拓，那么時域的信號間隔為Ts=1/fs；

所以，我們可以得出fs/f1=N；

換個角度看。

X[k]算出來的是一個序列值，那么這個序列值與頻率有何關系呢？

我們知道DFT的頻譜間隔為f1，那么，那么頻率軸就是k倍的f1，即是kf1，其中f1=fs/N；

舉個例子

我們定義個信號，它包含幅度值為0.7，頻率為50Hz的正弦和幅度值為1，頻率為120Hz的正弦.

采樣頻率為1kHz；

信號序列長度N=1500；

程序如下：

clf;
Fs=1000; % 采樣頻率1kHz 
T=1/Fs; % 采樣周期1ms 
L=1500; % 信號長度
t=(0:L-1)*T; % 時間序列
S=0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
subplot(211);
plot(1000*t,S);
title('包含幅值為0.7的50Hz正弦量和幅值為1的120Hz正弦量')
xlabel('t (毫秒)')
ylabel('X(t)')
subplot(212);
plot(1000*t(1:50),S(1:50));
title('取前50ms的數據，包含幅值為0.7的50Hz正弦量和幅值為1的120Hz正弦量')
xlabel('t (毫秒)')
ylabel('X(t)')
Y=fft(S);
mag=abs(Y); %求得FFT變換后的振幅
f=(0:L-1)*Fs/L; %頻率序列
figure
plot(f,mag); %繪出隨頻率變化的振幅
title('信號的FFT')
xlabel('頻率f (Hz)')
ylabel('|幅度mag|')

通過圖8，我們可以看出原始信號的波形。圖8的上方為1500毫秒的信號，圖8的下方為取前50ms的信號。當從上圖中，很難看出信號是由50Hz和120Hz的頻率組成。

圖9的橫坐標為頻率單位Hz,總長為1000Hz（為什么呢？讀者可以思考下）

我們發現在50Hz和120Hz處，出現明顯的峰值。

總結

本文中采樣頻率Fs=1000Hz，整個頻譜是關于500Hz對稱的。其中500Hz就是Nyquist頻率Fs/2。

所以FFT的頻譜圖是以Nyquist頻率為對稱軸的。

并且可以明顯識別出信號中含有兩種頻率成分：50Hz和120Hz。

因此用FFT對信號做譜分析，只需考察0~Nyquist頻率范圍內的幅頻特性。

本文只是簡單的入門，如果各位同學想用好FFT這個頻譜分析工具，建議動手去實驗，可以發現很多有趣的性質。

看到這里幫班長點個贊吧，歡迎在評論去留言討論！

參考文獻：

[1]FFT-Matlab初步實現.https://www.cnblogs.com/WHaoL/p/6595132.html

[2]matlab 中fft的用法.https://www.cnblogs.com/alexanderkun/p/4723577.html

[3]fft.https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html

果圖

不知道你們每次聽音樂，看見音樂播放器上有隨著音樂而跳動的頻譜會不會很好奇這是怎么做出來的，今天學習這個以后你們就不會在苦惱了，原來超簡單的（每天5分鐘，充實一整天）

教程

1、

• 首先打開我們的AE

2、

• 將我們在網上下載的素材導入AE中，導入種類：合成；圖層選項：可編輯的圖層樣式
• 然后在項目里找到合成類型的文件，右鍵修改合成設置，時間改為5秒

3、

• 在我們的素材里找到矩形2圖層，調出參考線（快捷鍵：ctrl+r），拉一根參考線放到矩形中間
• 在點擊矩形2圖層，我們按M鍵調出蒙版路徑
• 時間線為20幀的時候，我們打上關鍵幀；然后在將時間線移動到1秒，我們用鋼筆工具拖動矩形右邊的兩個錨點，按住shift豎直拖動，將矩形變為三角形；在將時間線移動到4秒20幀，打上關鍵幀；時間線移動到4秒24幀，三角形變為矩形

4、

• 新建一個純色圖層（快捷鍵：ctrl+y），在右方的效果欄搜索時間，找到文本-時間碼，拖入純色圖層中
• 我們將時間線移動到20幀，在效果控件里，將自定義-時間單位改為30，開始幀改為-24，顯示方框關閉，文本顏色改為黑色，字體大小改為12

5、

• 點擊矩形工具，我們在開始鍵上方新建一個矩形圖層，添加一個修剪路徑
• 點開修剪路徑，將角度改為90度，時間線為20幀的時候，結束值改為25%；時間線移動到4秒24幀的時候，結束值為100%
• 再將我們的音樂拖入AE中
• 新建一個純色圖層，在右方效果欄搜索音頻頻譜，拖入純色圖層中
• 將音頻層改為我們拖入的音樂圖層，內部顏色和外部顏色都改為白色，面選項改為A；再將起始點和結束點對齊下方
• 將時間線移動到20幀，我們將最大高度改為1，打上關鍵幀；時間線移動到1秒，最大高度改為2000；時間線移動到4秒20幀，打上關鍵幀；時間線移動到4秒24幀，最大高度改為1
• 我們再復制一層音頻頻譜圖層（快捷鍵：ctrl+d），我們將時間線上的最大高度改為2300，按T鍵打開不透明度，調整為30%

6、

• 點擊橢圓工具，按住shift在開始鍵繪制一個正圓
• 時間線移動到20幀，我們按S鍵打開縮放大小，打上關鍵幀；時間線移動到1秒，縮放改為300%；在按shift+T鍵打開不透明度，時間線為20幀，我們將不透明度改為0，打上關鍵幀；時間線移動到22幀，不透明度為100；時間線為1秒，不透明度為0
• 選中所有關鍵幀，按F9添加緩動效果，并復制所有關鍵幀
• 時間線移動到4秒20幀，我們粘貼關鍵幀，選中所有關鍵幀按住Alt鍵拖動關鍵幀，調整時間

7、

• 這樣我們的音頻頻譜動畫就做好啦

結語：今天做這個傷透了我的心，時間點出現了問題，但是我電腦又卡，沒辦法最后給你說，時間哪里復制一層在20幀設置為出點就行，然后在0秒把開始幀設置為-24，20幀打上關鍵，就行（新知識點2個）