導讀
時間序列的平穩性判定是時間序列分析預測的關鍵技術,為了根據數據特征提供更為可靠合理的平穩性判定方法, 從數據平穩條件入手比較分析了時間路徑圖、自相關函數、DF檢測和ADF檢測四種方法的數學原理。以股票數據為應用背景, 采用工具對時間序列的平穩性判定進行了實驗仿真和對比分析, 得出對于復雜的時間序列多種檢測方法綜合檢驗更為可靠的結論, 為隨機過程中數據分析預測的進一步研究提供數據預處理的技術參考。（來源：現代電子技術，作者：范濤濤、寇艷廷、劉晨、閻紅燦）
引言
在自然現象和經濟現象中, 人們為了探索某些事物或系統的運行規律, 需要觀測所要研究的某種現象, 從而得到一定順序的數據資料, 通過分析這些數據資料, 對事物或系統的未來發展進行預測或控制, 這種方法稱為時間序列分析。時間序列分析[1]是對有序的隨機數據 (信號) 處理的一種方法, 它的出發點是承認數據的有序性和相關性, 通過數據內部的相互關系來辨識系統的變化規律。
時間序列分析是定量預測方法之一, 其基本原理如下:一是承認事物發展的延續性, 應用過去數據, 就能推測事物的發展趨勢;二是考慮到事物發展的隨機性。進行數據平穩性檢驗的原因是:如果隨機過程是非平穩的, 則用一個簡單的代數模型來反映時間序列的過去和未來通常十分困難。所以對時間序列分析時通常要求時間序列是平穩的。但是在現實經濟生活中, 情況往往是實際的時間序列數據是非平穩的, 而且主要的經濟變量如消費、價格、收盤價往往表現為一致的上升或下降。
這樣, 仍然通過經典的因果關系模型進行分析, 一般不會得到有意義的結果。所以, 時間序列分析中首先遇到的問題就是時間序列的平穩性判定問題。只有判定時間序列的平穩性, 將非平穩時間序列轉化成平穩時間序列, 才能進一步對序列進行預測研究。
本文通過分析時間序列的平穩條件, 系統分析了常用的四種判定方法的數學原理, 并以股票數據為實驗背景, 通過工具對比研究了四種判定方法的實用性。
1 時間序列的概念及平穩性條件
時間序列是指同一種現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的一組數字序列。時間序列分析是一種動態數據處理的統計方法, 該方法基于隨機過程理論和數據變動存在規律性與不規則數理統計學方法, 研究隨機數據序列所遵從的統計規律, 用于解決實際問題。
1.1 時間序列的特征
時間序列中的每個觀察值大小, 是影響變化的各種不同因素在同一時刻發生作用的綜合結果。從這些影響因素發生作用的大小和方向變化的時間特性來看, 這些因素造成的時間序列數據的變動分為四種類型[1-2]:
(1)趨勢性:某個變量隨著時間進展或自變量變化, 呈現一種比較緩慢而長期的持續上升、下降、停留的同性質變動趨向, 但變動幅度可能不相等。
(2)周期性:某因素由于外部影響隨著自然季節的交替出現高峰與低谷的規律。
(3)隨機性:個別為隨機變動, 整體呈統計規律。
(4)綜合性:實際變化情況是幾種變動的疊加或組合。
1.2 時間序列平穩的條件 如果時間序列{X:t N}滿足:
(1) 對任何t∈N, E (Xt) =μ是與時間t無關的常數;
(2) 對任何t∈N, Var (Xt) =s2是與時間t無關的常數;
(3) 對任何t, k∈N, Cov (Xt, Xt+k) =gk是只與時期間隔k有關, 與時間t無關的常數。 則稱該隨機時間序列是平穩的, 而該隨機過程是一平穩隨機過程[3]。 在時間序列分析中用于數據平穩性判定的方法很多, 但其基本原理都遵從此定義, 下面就時間路徑圖檢驗、自相關函數檢驗、DF檢驗和ADF檢驗四種常用方法分析其數學原理, 并給出實例檢測過程。
2 時間序列平穩性判斷的理論分析
從時間序列的平穩性條件可以看出, 條件 (1) 與時間序列的均值有關, 條件 (2) 與時間序列的方差有關, 條件 (3) 與時間序列的協方差有關, 只有三個條件均滿足才能確定時間序列是平穩的, 只要有一個條件不滿足說明數據不平穩, 但要具體描述數據的不平穩特性, 對于不同的數據要采取不同的判定方法, 以便于進一步分析處理數據。
2.1 時序圖檢驗
根據平穩時間序列均值、方差為常數的性質, 平穩序列的時序圖應該顯示出序列始終在一個常數值附近隨機波動, 而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。一個平穩的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程;而非平穩序列則往往表現出在不同時間段具有不同的均值 (如持續上升或持續下降) 。 由于此方法只依據序列的均值、方差進行判斷, 而沒有考慮它的協方差, 故這種方法雖然簡單容易操作, 但準確性不能保證。
2.2 自相關圖檢驗
不同時間序列具有不同形式的自相關函數, 因此可以從時間序列自相關函數的圖形來判斷時間序列的穩定性, 但是, 自相關函數是純理論性的, 對它所刻畫的隨機過程, 通常只能得到有限個觀測值。一般地, 由樣本數據計算出樣本自相關函數
當k逐漸增大時, 迅速衰減, 則認為該序列是平穩的;如果它衰減非常緩慢, 則認為該序列是非平穩的。自相關分析法是進行時間序列分析的有效方法, 它簡單易行、較為直觀, 但計算量比較大。
對時間序列的平穩性除了通過圖形直觀判斷外, 運用統計量進行統計檢驗則是更為準確與重要的。
2.3 DF檢驗
DF檢驗全稱為迪基-富勒 (-) 檢驗法[4-6], 因迪基和富勒提出而得名, 是統計檢驗中普遍應用的一種檢驗方法。因為隨機游走序列Xt=Xt-1+mt是非平穩的, 其中mt是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型Xt=rXt-1+mt中參數r=1時的情形。也就是說, 對式Xt=rXt-1+mt做回歸, 如果確實發現r=1, 就說隨機變量Xt有一個單位根。上式可變形式成差分形式:ΔXt= (1-r) Xt-1+mt=dXt-1+mt是否存在單位根r=1, 也可判斷是否有d=0。因此, 針對式ΔXt=a+dXt-1+mt檢驗為:零假設H0:d=0, 則序列非平穩;備擇假設H1:d
2.4 ADF檢驗
ADF檢驗[7-9]假定擾動項獨立同分布, 但擾動項事實上多序列相關, 此時檢驗結果就會失效。但是, 如果放寬擾動項條件, 引入滯后差分項, 就可使擾動項服從獨立同分布過程。為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性, Dicky和對ADF檢驗進行了擴充, 形成了ADF ( -) 檢驗。
檢驗的假設都是針對H1:d
(1) 只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設, 就可以認為時間序列是平穩的;
(2) 當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時, 則認為時間序列是非平穩的。
3、 時間序列的平穩性判定實驗仿真
是一組處理時間序列數據的有效工具, 提供基于平臺的復雜的數據分析、回歸及預測工具, 通過能夠快速從數據中得到統計關系, 并根據這些統計關系進行預測。 在系統數據分析和評價、金融分析、宏觀經濟預測、模擬、銷售預測及成本分析等領域中有著廣泛的應用。本文利用軟件判定部分中國石化股票的收盤價序列是否平穩。
3.1 利用散點圖判斷平穩性
利用樣本數據做散點圖如圖1所示, 由圖形粗略判斷數據是非平穩的。
圖1 20天股票收盤價折線圖
3.2 利用樣本自相關函數判斷穩定性
利用樣本數據作自相關函數圖形如圖2所示。
圖2 自相關函數圖形
從圖2中可以看出, 自相關函數隨著k的增加, 衰減緩慢, 不是在零周圍波動, 說明數據序列是非平穩的。
3.3 DF檢驗
單位根統計量ADF=-1.457 465都大于給出的顯著性水平1%~10%的ADF臨界值, 所以接受原假設, 該序列是非平穩的, 如圖3所示。
圖3 DF檢驗結果
3.4 ADF檢驗
單位根統計量ADF=-3.098 119都大于ADF檢驗1%~10%的各種顯著水平ADF臨界值, 不能拒絕原假設, 即有單位根, 所以該序列是非平穩的, 見圖4。
圖4 ADF檢驗結果
4、 結 語
時間序列分析常用在國民經濟宏觀控制、區域綜合發展規劃、企業經營管理、市場潛量預測、氣象預報、水文預報、地震前兆預報、農作物病蟲災害預報、環境污染控制、生態平衡、天文學和海洋學等方面。時間序列平穩性的研究對于經濟統計預測有一定的實用價值。本文討論的四種檢測方法中, 時間路徑圖和自相關函數是從數據平穩性定義出發進行檢測的, 而DF檢測和ADF檢測是將問題轉化為已知隨機游走序列來判斷的。實際檢驗時, 有必要根據數據特征選取合適的方法。若數據特征未知, 最好使用多種方法進行檢驗, 并對不同形式的檢驗結果進行比較和統一, 以求得到相對可靠、合理的結論。
5、參考文獻
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